Μέγα πρώτοι αριθμοί, υπολογιστικά τέρατα και στρατηγική

Ν. Λυγερός
Με το τέλος της χρονιάς φτάσαμε στους 41 μέγα πρώτους αριθμούς. Αυτοί οι πρώτοι αριθμοί έχουν περισσότερα από ένα εκατομμύρια ψηφία. Δεν έχουν από μόνοι τους ενδιαφέρον για τη μαθηματική έρευνα, αλλά μέσω των οικογενειών που ανήκουν. Ο κατάλογος αποδεικνύει από μόνος του την ισχύ των αριθμών. Μάλιστα, στους δέκα μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς σε παγκόσμιο επίπεδο, οι εννέα είναι του τύπου Mersenne. Υπάρχουν βέβαια και οι γενικευμένοι αριθμοί του Fermat, αλλά και μερικοί από τους διαιρέτες τέτοιων αριθμών. Και μπορούμε να προσθέσουμε και τους αριθμούς Cullen και Woodal. Οι άλλοι πρώτοι αριθμοί αυτού του καταλόγου αποτελούν στην ουσία ένα συμπαγές μείγμα αριθμο-γεωμετρικού τύπου. Από την άλλη
πλευρά, όσον αφορά στην υπολογιστική ισχύ, αν εξαιρέσουμε το 1999, όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί αυτού του καταλόγου ανήκουν στον XXI αιώνα. Αυτή η διαπίστωση σχετίζεται βέβαια και με την εξέλιξη των υπολογιστών, αλλά και των υπολογισμών μέσω του διαδικτύου και του συστήματος Grid. Το
υπολογιστικό κόστος για να αποδειχθεί ότι ένα υποψήφιος
αριθμός είναι όντως πρώτος αριθμός, είναι μεγάλο στην πράξη ακόμα κι αν υπάρχει το θεώρημα AKS. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθηματικοί πρέπει όλο και περισσότερο να προσέχουν και τις ιδιότητες των υπολογιστών, αλλά και των αλγορίθμων απόδειξης αυτής της ιδιότητας, οι οποίοι χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: οι γενικοί και οι ειδικοί που ελέγχουν μία ή πολύ περιορισμένο αριθμό διαφορετικών τύπων υποψηφίων πρώτων αριθμών. Σε αυτό το πλαίσιο, οι μαθηματικές ιδιότητες των αριθμών είναι απόλυτα καθοριστικές. Διότι προς το παρόν, το παγκόσμιο ρεκόρ απόδειξης μέσω ενός γενικού αλγορίθμου το κατέχει ένας αριθμός με «μόνο» 26.643 ψηφία. Η έρευνα στον τομέα των μέγα πρώτων αριθμών γίνεται κατά συνέπεια αποκλειστικά με ειδικούς αλγορίθμους. Εδώ λοιπόν, το θέμα είναι εύρεση, ενός ειδικού αλγορίθμου όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικού μέσω της χρήσης των ιδιοτήτων των αριθμών που εξετάζει. Αυτό βέβαια, δίνει πολλές δυνατότητες από πλευράς στρατηγικής. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να ακολουθήσουμε κλασικά τη βελτιστοποίηση των υπολογισμών για τους αριθμούς Mersenne. Αυτή η προσέγγιση βέβαια είναι βασικά πληροφορικής δράσης. Υπάρχει όμως και άλλη οδός λιγότερο συμβατική, αλλά που απαιτεί περισσότερα μαθηματικά και δημιουργικότητα. Αυτή η έρευνα νέων τύπων αριθμών που μπορούν να είναι ακόμα και ισάξιοι των αριθμών Mersenne, στην εύρεση μέγα πρώτων αριθμών. Διότι στην ουσία, δεν υπάρχει κανένας περιορισμός, αφού το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Απλώς αυτή η έρευνα είναι εκ φύσης δύσκολη και ριψοκίνδυνη. Ένας τρόπος να αποφύγουμε το δεύτερο σκέλος είναι να εξετάσουμε κατηγορίες που έχουν ενδιαφέρον ήδη από μόνες τους. Σε αυτήν την περίπτωση η έρευνα είναι πολλαπλή. Γι’ αυτό το λόγο είναι αναμενόμενο ότι θα έχουμε βαθιά αποτελέσματα μέσω αυτής της μεθοδολογίας, καθώς το δείχνουν ήδη τα πρώτα ενδιάμεσα αποτελέσματα στην παραγωγή μεγάλων υποψηφίων πρώτων αριθμών, οι οποίοι έχουν πραγματικά ενδιαφέρουσες και βαθιές ιδιότητες.